বীজগণিত, বিন্যাস ও সম্ভাব্যতা

বীজগণিতের মান নির্ণয় শর্টকাট

যদি x + 1/x = k দেওয়া থাকে, তবে খাতায় লম্বা গুণ না করে সরাসরি এই সূত্রগুলো ব্যবহার করুন:

• x² + 1/x² = k² − 2
• x³ + 1/x³ = k³ − 3k
• x⁴ + 1/x⁴ = (k² − 2)² − 2
• আবার যদি x − 1/x = m দেওয়া থাকে, তবে x² + 1/x² = m² + 2 এবং x³ − 1/x³ = m³ + 3m

উদাহরণ: x + 1/x = 3 হলে,
x² + 1/x² = 3² - 2 = 7
x³ + 1/x³ = 3³ - 3(3) = 27 - 9 = 18

সূচক ও লগারিদমের জরুরি সূত্র

• a^m · a^n = a^(m+n), (a^m)^n = a^(mn), এবং a⁰ = 1 (a ≠ 0)
• log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y) এবং log_b(x^r) = r · log_b(x)
• ভিত্তি পরিবর্তন: log_a(b) × log_b(a) = 1 এবং log_(a^k)(a^m) = m / k

বিন্যাস (Permutation) ও সমাবেশ (Combination)

• ক্রম গুরুত্বপূর্ণ হলে (সাজানো, সংখ্যা বা শব্দ গঠন) → বিন্যাস: nPr = n! / (n − r)!
• ক্রম গুরুত্বহীন হলে (কমিটি বা দল গঠন, করমর্দন) → সমাবেশ: nCr = n! / (r! × (n − r)!)
• শব্দ সাজানো: মোট বর্ণ n এবং একই বর্ণ p, q বার থাকলে মোট বিন্যাস = n! / (p! × q!)। যেমন ENGINEERING (১১টি বর্ণ: E=3, N=3, G=2, I=2, R=1) সাজানোর উপায় = 11! / (3! × 3! × 2! × 2!)।
• করমর্দন (Handshake): n জন ব্যক্তি পরস্পর করমর্দন করলে মোট করমর্দন = nC2 = n(n − 1) / 2।
• বহুভুজের কর্ণ: n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের মোট কর্ণ সংখ্যা = n(n − 3) / 2।

সম্ভাব্যতা (Probability)

• সম্ভাব্যতা P(E) = অনুকূল ফলাফল n(E) / মোট নমুনাক্ষেত্র n(S), যেখানে 0 ≤ P(E) ≤ 1।
• কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা = 1 − P(একটিও না ঘটা)।
• দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল 6² = 36; যোগফল ৭ হওয়ার অনুকূল ঘটনা ৬টি: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → P = 6/36 = 1/6।